Matematika Diskrit "KOMBINATORIAL"

"TI Politala Matdis 1D"
[ Tugas Kuliah ] Matematika Diskrit "KOMBINATORIAL"

KOMBINATORIAL

Kombinatorial adalah cabang matematika untuk menghitung jumlah penyusunan objek - objek tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan susunannya, selain itu kombinatorial ini adalah jumlah cara pengaturan objek - objek di dalam kumpulannya. Kombinatorial juga didasarkan pada hasil yang diperoleh dari suatu percobaan atau kejadian.

1. Aturan Penjumlahan = (atau)

2. Aturan Perkalian = (dan)

3. Permutasi = yaitu susunannya diperhatikan.

    RUMUS : nPr = n! / (n-r) !

                Contoh:

                Perhatikan kata “KOMPUTER”, akan diatur huruf – huruf dalam kata tersebut.

                a. Berapa banyak pengaturan huruf jika semua huruf pada kata digunakan.

                b. Berapa banyak pengaturan jika hanya diambil 4 huruf.

                Jawab: a. n = 8, r = 8 maka P(8,8) = 8!

                            b. n = 8, r = 4 maka P(8,4) = 8! / (8 – 4) = 8 . 7 . 6 . 5 = 1680 cara.

4. Kombinasi = yaitu susunannya tidak diperhatikan.

    RUMUS : nCr = n! / (n-r)! r!

                Contoh:

                Sekelompok anak terdiri 4 anggota.Berapa cara memilih 2 anak dari 4 anak.

                Jawab:

                n = 4, r = 2 maka C(4,2) = 4! / 2! ( 4-2)! = 4! / 2! 2! = 6 cara.

KAIDAH DASAR PERHITUNGAN :

1. Kaidah Dasar Penjumlahan (Rule of Sum) / ROS

Andaikan terdapat n himpunan A¡, I = 1,2,3 . . . , n. Andaikan juga cacah banyaknya anggota himpunan A¡ adalah n¡ dan A¡ ∩ A¡ = ∅, maka banyaknya anggota himpunan A1 atau A2 atau . . . atau An adalah (n1 + n2 + . . . + nn). Dengan kata lain Un¡  ¡A 1 =  (n1 + n2 + . . . + nn).

    Contoh:

     Dalam perpustakaan terdapat 10 buku Matematika, 25 buku Statistik dan 

     5 buku sosial. 

     Berapa cara yang dapat dilakukan untuk mengambil 1 buku.

     Jawab: Banyaknya cara mengambil 1 buku Matematika ada 10 cara.

                 Banyaknya cara mengambil 1 buku Statistik ada 25 cara.

                 Banyaknya cara mengambil 1 buku Sosial ada 5 cara.

                 Jadi, banyaknya cara untuk mengambil 1 buku (sembarang) ada: 10 + 25 + 5 = 

                 40 cara.

2. Kaidah Dasar Perkalian (Rule of Product) / ROP

    Andaikan suatu prosedur dapat diselesaikan dengan k tahap.

    Tahap 1 dapat diselesaikan dengan n1 cara.

    Tahap 2 dapat diselesaikan dengan n2 cara.

    Tahap k dapat diselesaikan dengan nk cara.

    Maka prosedur tersebut dapat diselesaikan dengan : n1 . n2 . . . nk cara

    Contoh:

    Berapa banyaknya cara untuk mengambil 3 buah buku masing – masing 

    1 buku Matematika, 1 buku Statistik dan 1 buku sosial.

    Jawab: Prosedur untuk mengambil 3 buah buku yang berbeda dapat diselesaikan 

                dengan 3 tahap.

                Tahap 1: Mengambil 1 buku Matematika dapat dilakukan dengan 10 cara.

                Tahap 2 : Mengambil 1 buku Statistik dapat dilakukan dengan 25 cara.

                Tahap 3 : mengambil 1 buku Sosial dapat dilakukan dengan 5 cara.

                Dengan prinsip ROP, banyaknya cara utnuk mengambil 3 buah buku yang berbeda ada: 10 x 25 x 5 = 1250 cara.

Prinsip ROP menyatakan bahwa suatu percobaan dilakukan secara bersangkutan sedangkan ROS percobaan dilakukan tidak bersamaan.

CONTOH SOAL :

1. Dari 10 orang akan dipilih : (AB)

     a). Ketua dan wakil ketua : AB / BA

     b). 2 orang panitia : AB / BA

           Jawab : a). nPr = 10P2 = 10! / 8! = 10 x 9 x 8! / 8! = 90

                        b). nCr = 10C2 = 10! / 8! x 2! = 10 x 9 x 8! / 8! x 2! = 45

2. Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 4 bola biru, dan 3 bola kuning. Dari dalam kotak diambil 

    3 bola sekaligus secara acak, peluang terambil 2 bola merah dan 1 bola biru adalah ...

    Jawab : Cara mengambil 2 bola merah yaitu 5C2 = 10 cara

                 Cara mengambil 1 bola biru yaitu 4C1 = 4 cara

                 Cara mengambil 3 bola sekaligus 12C3 = 220 cara

     Peluang terambilnya 2 bola merah dan 1 bola biru adalah 

     P = 5C2 × 4 C1 / 12C3 = 2 / 11

3. Sebuah dompet berisi uang logam, 5 keping lima ratusan dan 2 keping seratusan. Dompet yang lain  berisi uang logam 3 keping lima ratusan dan 1 keping seratusan. Jika sebuah uang logam diambil secara acak dari salah satu dompet, peluang untuk mendapatkan uang logam seratusan rupiah adalah ....

    Jawab : Kemungkinan yang terjadi adalah pengambilan sebuah logam ratusan di dompet I atau logam ratusan di dompet II :

Peluang mendapatkan logam seratusan pada Dompet I adalah 2/7

Peluang mendapatkan logam seratusan pada Dompet II adalah 1/4

Maka, peluang untuk mendapatkan logam seratusan adalah 2/7 + 1/4=15 / 28

Sumber :

www.slideshare.net/mobile/CliquerzJavaneze/bab-8-kombinatorial.